Введение в теорию устойчивости Барбашин Е.А.

Барбашин Е.А.
Количество страниц: 223
Язык: Русский
Формат: DJVU / RAR

Формат файла: RAR

В основу данной книги положены лекции, прочитанные автором в Уральском государственном университете им. A.M.Горького для студентов-математиков старших курсов. Эти лекции посещали также научные работники и инженеры, интересующиеся приложением методов теории устойчивости. Указанное обстоятельство явилось причиной ряда специфических особенностей предлагаемого курса. С одной стороны, автором руководило стремление дать слушателям-математикам представление о современном уровне развития теории- устойчивости, показать связь этой теории с другими областями математики, познакомить с новейшими методами исследования, наконец, изложить результаты самого автора и его учеников. С другой стороны, автор понимал, что слушатели не должны были уходить с лекций, унося в голове только голые математические конструкции. Поэтому на лекциях каждый математический факт обсуждался с точки зрения его применимости и ценности в прикладных вопросах. К сожалению, мы не нашли возможным включить все такие обсуждения в эту книгу, однако специфика подбора материала отражает в достаточной степени указанную выше ситуацию.
В первой главе рассматриваются вопросы метода функций Ляпунова. Этот метод был развит в книге А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения», вышедшей из печати в 1892 г. Дальнейшему развитию метода функций Ляпунова были посвящены известные монографии А. И. Лурье [22], Н. Г. Четаева [26], И. Г. Малкина [8], А. М. Летова [23], Н. Н. Красовского [7], В. И. Зубова [138] у нас в СССР и Ж. Ла-Салля, С. Лефшеца [11], В. Гана [137] за рубежом.
В нашей книге, далеко не претендующей на полноту, не изложены даже в полном объеме те теоремы, которые вошли в знаменитую монографию А. М. Ляпунова. Здесь нами рассмотрены только автономные системы. В линейном случае мы ограничились обзором функций Ляпунова только в виде квадратичных форм. В нелинейном случае не обсуждается вопрос об обратимости теорем об устойчивости и неустойчивости.
С другой стороны, в первой главе подробно обсуждаются вопросы устойчивости при любых начальных возмущениях. Как известно, эта теория возникла в 1950—1955 гг. Первые существенные результаты в этой области принадлежат Н.П. Еру-гину [133—135,16]. А. И. Лурье и И. Г. Малкину принадлежит заслуга привлечения к указанным вопросам метода функций Ляпунова. Значительную роль в развитии теории устойчивости в целом сыграли теоремы типа теорем 5.2, 6.3, 12.2, приведенных в первой главе. В этих теоремах свойство устойчивости обусловливается наличием функции Ляпунова, имеющей знакопостоянную, а не знакоопределенную, как это требуется в некоторых теоремах Ляпунова, производную по времени. Особая роль этих теорем объясняется тем, что ггочти любая попытка построения простых функций Ляпунова для нелинейных систем приводит к функциям с указанным свойством.
При изложении материала первой главы в любом удобном случае показывается методика построения функций Ляпунова. В конце главы даны примеры, каждый из которых представляет самостоятельный интерес.
Вторая глава посвящена вопросам устойчивости систем с переменной структурой. С математической точки зрения такие системы представляют весьма узкий класс систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Однако именно благодаря этому факту автору вместе с его сотрудниками удалось построить более или менее полную и стройную теорию для рассматриваемого класса систем. Следует отметить важность исследования устойчивости систем с переменной структурой, так как такие системы позволяют осуществлять стабилизацию объектов с существенно переменными параметрами. Часть результатов второй главы получена совместно с инженерами, которые осуществляли как разработку отдельных направлений теории, так и моделирование исследуемых систем.
Метод функций Ляпунова также нашел здесь свое применение, однако заинтересованный читатель может познакомиться с содержанием этой главы независимо от предыдущей.
В третьей главе обсуждаются вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Намерение включить эту главу в книгу появилось в силу следующих обстоятельств. Прежде всего, к моменту начала работы над этой главой не было монографий и фундаментальных работ, посвященных указанным вопросам, за исключением статей Л. Массера и Д. Шеффера [94, 95,139, 140]. Автором руководило также желание продемонстрировать роль методов функционального анализа в теории устойчивости. Первый результат в этом направлении принадлежит М. Г. Крей-ну [99]. В дальнейшем Л. Массера и Д. Шеффер, опираясь, в частности, на метод М. Г. Крейна, значительно развили теорию устойчивости в функциональных пространствах. К моменту завершения работы над этой главой вышла из печати книга М. Г. Крейна [75]. Однако различие научных интересов автора указанной выше книги и автора данной книги привело к тому, что пересечение результатов имеет место только в общих вопросах.
Отметим особенности изложения материала в третьей главе нашей работы. Нами дана трактовка задачи о накоплении возмущений как задача отыскания нормы оператора, преобразующего входной сигнал в выходной. Далее, значительное место уделено теоремам Л. Массера и Д. Шеффера, причем снова эти теоремы рассматриваются с точки зрения накопления возмущений, но уже на пблубесконечном интервале времени.
В настоящее время стала очень распространенной точка зрения на устойчивость, как на устойчивость по отношению к возмущению входного сигнала. Предположим, что некоторое звено системы автоматического регулирования преобразует входной сигнал в некоторый сигнал. Закон преобразования этих сигналов Задается некоторым оператором. Устойчивость состоит в том, что малое возмущение входного сигнала вызывает малое возмущение выходного сигнала. С математической точки зрения указанное свойство соответствует свойству непрерывности рассматриваемого оператора. Представляет интерес дать внутреннюю характеристику таких операторов. Как правило, эта характеристика сводится к описанию асимптотического поведения матрицы Коши (переходных функций). Именно в таком плане мы и рассматриваем результаты § 5 и 6.
Следует заметить, что асимптотическое поведение матрицы Коши линейной системы полностью характеризуется поведением реакции звена на импульсное воздействие. Таким образом, теоремы § 5 и 6 можно рассматривать как теоремы, описывающие поведение реакции системы на импульсный сигнал в зависимости от поведения системы при действии возмущений других типов. Поэтому большое внимание уделено вопросам преобразования импульсных воздействий. Здесь на базе понятия функций ограниченной вариации и понятия интеграла Стилтьеса строится элементарная теория устойчивости по отношению к импульсным воздействиям. Указанный подход позволяет рассматривать вопросы устойчивости в смысле Ляпунова (т. е. вопросы устойчивости по отношению к начальным возмущениям) и вопросы устойчивости по отношению к постоянно действующим возмущениям с единой точки зрения.
Последний параграф третьей главы посвящен вопросам программного регулирования. Материал § 6 и 7 изложен так, чтобы применение его для решения задачи осуществления движения по заданной траектории не представляло затруднений. Единственное, что здесь потребовалось для развития теории,— это привлечение методов и результатов теории среднеквад-ратических приближений.
Следует отметить, что третья глава требует от читателя несколько большей математической подготовки. В этой главе мы используем основные понятия функционального анализа, с которыми можно познакомиться, например, по книге [71]. Однако для удобства читателя все основные определения и положения функционального анализа, которыми мы пользуемся в третьей главе, приведены в § 1 этой главы.
В конце книги приведена подробная библиография работ, имеющих отношение к вопросам, рассматриваемым в книге.
Автор благодарен Н. Н. Красовскому за ценные замечания и советы.
В. А. Табуева, Е. И. Геращенко, В. Л. Гасилов, С. Т. Зава-лишин, А. Ф. Клейменов, Л. В. Киселев указали мне ряд недочетов, допущенных при оформлении работы. Ю. К. Сергеев провел моделирование некоторых результатов второй главы. Всем указанным товарищам автор приносит свою глубокую благодарность.